高等数学

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高等数学笔记。

空间解析几何

基本知识

向量的关系

\begin{cases}
\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = |\vec{\alpha}| \cdot |\vec{\beta}| \cdot \cos\theta \Rightarrow \vec{\alpha} \perp \vec{\beta}\\
\vec{\alpha} \times \vec{\beta} = |\vec{\alpha}| \cdot |\vec{\beta}| \cdot \sin\theta \Rightarrow \vec{\alpha} // \vec{\beta}
\end{cases}

向量的坐标运算

\begin{cases}
\vec{\alpha} = (a_1, b_1, c_1) \\
\vec{\beta} = (a_2, b_2, c_2)
\end{cases}
\Longrightarrow
\begin{cases}
\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = (a_1a_2, b_1b_2, c_1c_2) \\
\vec{\alpha} \times \vec{\beta} =
\begin{vmatrix}
   i & j & k \\
   a_1 & a_2 & a_3 \\
   b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix} (写X左上至右下为正)\\
| \vec{\alpha} \times \vec{\beta} | = a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 \\
| \vec{\alpha} | = \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \\
\end{cases}

平面方程

\begin{aligned}
&平面的一般方程:F=Ax+By+Cz+D=0 \\
&法向量:\vec{\alpha} = (A,B,C) \\
&曲面的法向量:\vec{\alpha} = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z})
\end{aligned}

直线方程(平面相交为线

\begin{aligned}
&\text{\textcircled 1}一般式:
\begin{cases}
A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\
A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0
\end{cases} \\

&\text{\textcircled 2}对称式(两点式):
\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} \\
\Rightarrow &经过点(x_1, y_1, z_1),(x_2, y_2, z_2) \\
&方向向量为:[(x_2-x_1), (y_2-y_1), (z_2-z_1)] \\

&\text{\textcircled 3}参数式:
\begin{cases}
x = x_1 + \lambda (x_2 - x_1) \\
y = y_1 + \lambda (y_2 - y_1) \\
z = z_1 + \lambda (z_2 - z_1)
\end{cases}
\end{aligned}

定理:直线只需有两个点在平面上,则直线在平面上

旋转曲面方程

\begin{aligned}
&方程:
\begin{cases}
y^2+z=1\\
x=0
\end{cases} \\
&绕OZ轴旋转以后的方程为:x^2+y^2+z=1 \\
&绕z轴则字母z不变,另一字母变为\sqrt{x^2+y^2}
\end{aligned}

点到直线/平面的距离

\begin{aligned}
&\vec{\alpha}=(A,B,C) \\
&\vec{\beta} = (p-x_1, q-y_1, r-z_1) \\
\Rightarrow &
\begin{cases}
d = |\vec{\beta}|\cdot \cos \theta
= |\vec{\beta}| \frac{\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}}{|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|}
= \frac{A(p-x_1)+B(q-y_1)+C(r-z_1)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \\
Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0
\end{cases} \\
\Rightarrow &
d = \frac{Ap+Bq+Cr+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
\end{aligned}

典型例题

例题1

若向量\vec{\alpha}、\vec{\beta}满足|\vec{\alpha}|=2,|\vec{\beta}|=\sqrt{2},且\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}=2,则|\vec{\alpha}\times\vec{\beta}|=? \\
\begin{aligned}
【解】&设两向量\vec{\alpha}、\vec{\beta}的夹角为\theta,根据\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}=2 \\
\Rightarrow &\cos\theta=\frac{\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}}{|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\Rightarrow &\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\Rightarrow & |\vec{\alpha}\times\vec{\beta}| = |\vec{\alpha}|\cdot|\vec{\beta}|\sin\theta = 2
\end{aligned}

微分学

基本知识

基本初等函数

\begin{aligned}
幂函数:&x^{\mu} \\
指数函数:&a^x \\
对数函数:&\log{a^x}\\
三角函数:&\sin{x}、\cos{x}、\tan{x}、\cot{x} \\
反三角函数:&\arcsin{x}、\arccos{x}、\arctan{x}
\end{aligned}

无穷小与两个重要极限

\begin{aligned}
无穷小:\lim\limits_{x \to a}f(x)=0  \\
&\begin{cases}
高阶无穷小:\lim\limits_{x \to a}\frac{\beta}{\alpha}=0 \\
低阶无穷小:\lim\limits_{x \to a}\frac{\beta}{\alpha}=\infin \\
同阶无穷小:\lim\limits_{x \to a}\frac{\beta}{\alpha} = c(not\ 0)\\
k阶无穷小:\lim\limits_{x \to a}\frac{\beta}{\alpha^k}=c(not\ 0)\\
等价无穷小:\lim\limits_{x \to a}\frac{\beta}{\alpha}=1 \\
\end{cases} \\

常用等价无穷小: \\
&\begin{cases}
\sin x \sim x \\
\arcsin x \sim x \\
\tan x \sim x \\
e^x - 1 \sim x \\
a^x-1 \sim x\ln{a}(a>0,a\ne1) \\
\ln(1+x) \sim x \\
\log{a}^{1+x} \sim \frac{x}{\ln a}(a>0,a\ne1) \\
1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \\
(1+\beta x)^{\alpha} -1 \sim \alpha\beta x \\
\end{cases} \\

两个重要极限:\\
&\begin{cases}
\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \\
\lim\limits_{x \to \infin}(1+\frac{1}{x})^x = e \\
\end{cases} \\
\end{aligned}

洛必达法则

对于未定式型极限(\frac{0}{0}、\frac{\infin}{\infin})可以采用上下求导的方式求极限:\\
\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim\limits_{x \to 0}\frac{f'(x)}{F'(x)} \\

函数的连续性与间断点

\begin{aligned}
连续&
\begin{cases}
\text{\textcircled 1} 在x_0处有定义\\
\text{\textcircled 2} 左右极限存在且相等\\
\end{cases}\\

间断点&
\begin{cases}
第一类间断点(左右极限均存在)
\begin{cases}
可去间断点(在x_0处无定义)\\
跳跃间断点(左右极限不相等)
\end{cases}\\
第二类(不属于第一类的,包括无穷间断、振荡间断等)\\
\end{cases}\\
\end{aligned}

基本求导公式与法则

  • 基本求导公式:
\begin{aligned}
(C)' &= 0 \\
(x^\mu)' &= \mu x^{\mu -1} \\
(\sin x)' &= \cos x \\
(\cos x)' &= -\sin x \\
(\tan x)' &= \frac{1}{\cos^2x} \\
(\cot x)' &= -\frac{1}{\sin^2x} \\
(\sec x)' &= \sec x \tan x \\
(\csc x)' &= -\csc x \cot x \\
(a^x)' &= a^x\ln a \\
(e^x)' &= e^x \\
(\log{a^x})' &= \frac{1}{x\ln a} \\
(\ln x)' &= \frac{1}{x} \\
(\arcsin x)' &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
(\arccos x)' &= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
(\arctan x)' &= \frac{1}{1+x^2} \\
(arccot x)' &= -\frac{1}{1+x^2} \\
\end{aligned}
  • 和差积商求导法则
(u \pm v)' = u' \pm v' \\
(Cu)' = Cu' \\
(uv)' = u'v + uv' \\
(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \\
  • 复合函数求导
复合函数F(u),u=t(x) \\
\frac{dF}{dx} = \frac{dF}{du} \frac{du}{dx} \\
例如:F(u) = 5u,u = x^2 \\
\Rightarrow \frac{dF}{dx} =5 \cdot 2x = 10x
  • 莱布尼兹公式(高阶求导)
(uv)^{(n)} = \displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} \\
排列:A_n^k = \frac{!n}{(n-k)!} \\
组合:C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

求导技巧

  • 隐函数求导:两边求导
  • 取对数后求导

函数的极值

\begin{aligned}
一阶导数\rightarrow
&\begin{cases}
单调性
\begin{cases}
f'(x)>0 \uparrow \\
f'(x)<0 \downarrow \\
\end{cases} \\
极值点:驻点或不可导点\\
f'(x)=0 \Rightarrow 驻点
\end{cases} \\

二阶导数\rightarrow
&\begin{cases}
凹凸性
\begin{cases}
f''(x) > 0 \Rightarrow 凹函数 \\
f''(x) < 0 \Rightarrow 凸函数
\end{cases}
\\
拐点:f''(x)=0,凹凸性变化
\end{cases}
\end{aligned}

f(x)与f'(x)的奇偶性相反

全微分

\frac{\partial^2Z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2Z}{\partial y \partial x}\\
\Rightarrow Z=f(x,y)先对x求导再对y求导,另一未知量当作常数。 
\begin{cases}
F(x,y)=0 \\
\frac{dx}{dy} = -\frac{Fx}{Fy}
\end{cases}
\Rightarrow dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy
\begin{cases}
F(x,y,z)=0 \\
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{Fx}{Fz} \\
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{Fy}{Fz} \\
\end{cases}

典型例题

积分学

基本知识

积分的求法

  • 与求导相反的基本积分表法
\begin{aligned}
\int{kdx} &= kx + C\\
\int{x^\mu dx} &= \frac{x^{\mu+1}}{\mu +1} +C\\
\int\frac{dx}{x}&=\ln|x| +C \\
\int\frac{dx}{1+x^2} &= \arctan x +C\\
\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} &= \arcsin x +C\\
\int\cos xdx &= \sin x + C \\
\int\sin xdx &= -\cos x + C\\
\int\frac{dx}{\cos^2x} &= \tan x + C\\
\int\frac{dx}{\sin^2x} &= -\cot x + C\\
\int e^x dx &= e^x +C \\
\int a^xdx &= \frac{a^x}{\ln a} + C\\
\int \sh xdx &= \ch x + C \\
\int \ch xdx &= \sh x + C \\
\end{aligned}
  • 第一类换元法(变量代换)
\begin{aligned}
例:&\int\frac{\sin x}{\cos x}dx = \int -\frac{1}{\cos x}d(\cos x) = -ln^{|\cos x|}+C\\
&\int 2\cos 2xdx = \int\cos 2x d2x = \sin 2x + C \\
\end{aligned}
  • 第二类换元法(将dx的变量x替换)
\begin{aligned}
例:&求\int\sqrt{a^2-x^2}dx\\
&令 x = a\sin t \\
\Rightarrow &原式=\int a^2 \cos t d\sin t = a^2 \int \cos^2 tdt = a^2\int\frac{1+\cos 2t}{2}dt
\end{aligned}
  • 分部积分法
\int udv = uv - \int vdu

二重积分的坐标系变换

\begin{cases}
&\text{\textcircled 1} 被积函数中 x = \rho \cos \theta , y = \rho \sin \theta \\
&\text{\textcircled 2} 面积元素 dxdy = \rho dr d \theta 
\end{cases}\\
例:\displaystyle\iint_{D}\frac{dxdy}{1+x^2+y^2}=\int_0^{2\pi}d\theta \int_0^1\frac{1}{1+r^2}rdr\\

线积分

\begin{cases}
x = \varphi(t) \\
y = \psi(t)
\end{cases}\\
\displaystyle\Rightarrow \int_Lf(x,y)ds = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t), \psi(t)]\sqrt{\varphi '^2(t)+\psi '^2(t)}dt

二重积分的几何意义

二重积分\iint_Df(x,y)dxdy \rightarrow 某一包围区域的体积

例:

\iint_Ddxdy = \int_0^3 \pi y^2dx=\int_0^3 \pi 4xdx

典型例题

无穷级数

基本知识

基本概念

S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^nu_i \rightarrow 割圆术、等比数列和等 \\
\lim\limits_{n \to \infin}S_n = S 
\begin{cases}
\xrightarrow{是}收敛 \\
\xrightarrow{是}发散
\end{cases} \\

基本性质
\begin{cases}
\lim\limits_{n \to \infin}\sum u_n = S \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infin}\sum ku_n = kS \\
\sigma = \lim\limits_{n \to \infin}\sum v_n \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infin}\sum{u_n + v_n} = S + \sigma \\
增减项数不变 \\
\lim\limits_{n \to \infin}u_n = 0 \rightarrow 单项极限为零
\end{cases} \\

调和级数(发散)

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}+...

p级数

1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+...+\frac{1}{n^p}+... \\
\Rightarrow
\begin{cases}
p\leq 1时发散 \\
p > 1时收敛
\end{cases}

幂级数

\begin{aligned}
&定义与概念:\lim\limits_{n=0}^{\infin}a_n(x-c)^n \\
&收敛半径:R=\lim\limits_{n \to \infin}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\frac{1}{\rho}\\
&展开 e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infin}\frac{x^n}{n!}\ (注意:0! = 1)\\
&常用的一个幂函数的和:x^0+x^1+...+x^n+...=\frac{1}{1-x}
\end{aligned}

绝对收敛(绝对值收敛)

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_n 收敛且 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}|a_n| 也收敛 \rightarrow 绝对收敛 \\
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}a_n 收敛且 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}|a_n| 发散 \rightarrow 条件收敛 \\
交错级数\displaystyle\sum_{n=1}^{\infin}(-1)^{n-1}u_n的收敛条件 \rightarrow
\begin{cases}
u_n \geq u_{n+1} \\
\lim\limits_{n \to \infin}u_n = 0
\end{cases}

泰勒级数与麦克劳林级数

\begin{aligned}
泰勒级数:f(x) = &f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+...\\
&+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+...\\
&\displaystyle x_0 = 0 时 \rightarrow 麦克劳林级数
\end{aligned}

典型例题

常微分方程

基本知识

可分离变量的微分方程求法

可以写成g(y)dy=f(x)dx的微分方程,两边积分后代入边界条件即可求得解

齐次方程

\frac{dy}{dx}=f(x,y) \rightarrow 可以写成\frac{y}{x}的函数,即f(x,y) = \varphi (\frac{y}{x}) \\
\begin{aligned}
例:&求y^2+x^2\frac{dy}{dx} = xy\frac{dy}{dx} \\
\Rightarrow &\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy-x^2} = \frac{(\frac{y}{x})^2}{(\frac{y}{x})-1} \\
令&u = \frac{y}{x} \Rightarrow
\begin{cases}
y = ux \\
\frac{dy}{dx} = u+x\frac{du}{dx}
\end{cases}\\
\Rightarrow &原式变为 u+x\frac{du}{dx} = \frac{u^2}{u-1} \\
\Rightarrow &x\frac{du}{dx} = \frac{u}{u-1} \\
\Rightarrow &(1-\frac{1}{u})du = \frac{1}{x}dx \\
两端积分 \Rightarrow &u - \ln^{|u|} + C = ln^{|x|} \\
用u = \frac{y}{x}代换回来 \Rightarrow &\ln^{|y|} = \frac{y}{x} + C
\end{aligned}

线性微分方程

\begin{aligned}
非齐次线性微分方程:&\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \\
即:&y' + P(x)y = Q(x) \\

齐次线性微分方程:&\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 \\
即:&y' + P(x)y = 0 \\

求解步骤:
&\begin{cases}
先求齐次通解 \\
用u(x)替代常数C \\
求得u(x) \\
u 回代齐次通解
\end{cases} \\

\end{aligned}

二阶常系数齐次微分方程

\begin{aligned}
&求y'' + py'+qy = 0 的通解:\\
&\text{\textcircled 1} 特征方程为r^2+pr+q=0 \\
&\text{\textcircled 2} 求特征方程的两个根r_1、r_2 \\
&\text{\textcircled 3} 根据r_1、r_2判断通解的形式 \\
&\rightarrow
\begin{cases}
不相等实根r_1,r_2:y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} \\
r_1=r_2:y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}\\
共轭复根r_{1,2}=\alpha \pm i\beta:y= e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)
\end{cases}\\
\end{aligned}

二阶常系数非齐次微分方程

\begin{aligned}
&求y'' + P(x)y'+Q(x)y = f(x) 的通解:\\
设&
\begin{cases}
y^*(x)是常系数微分方程的一个特解,\\
Y(x)是对应的齐次方程的通解
\end{cases} \\
\Rightarrow &y = Y(x) + y^*(x) \\
对&f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}形式判断【Q_m(x)是与P_m(x)同次的多项式】:\\
\Rightarrow &y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x} \rightarrow
\begin{cases}
\lambda 是特征方程的根\Rightarrow k=0 \\
\lambda 是特征方程的单根\Rightarrow k=1 \\
\lambda 不是特征方程的根\Rightarrow k=2 \\
\end{cases} \\
\Rightarrow &得出特解形式后将特解代回原方程,对比双边系数。
\end{aligned}

典型例题

线性代数

概率与数理统计

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